求证 极限 lim [(b1+b2+....bn)/(a1+a2+...an)] = L

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/05 16:15:12
条件(I) 通项an>0 且a1+a2+...an = 正无穷
条件(II) lim (bn/an) = L
注意 bn或者an中的n均为下标 且n从1开始
提示 : Stolz定理 或者 考虑Toeplitz 数表?

回答者： benkyoshi - 大魔法师 九级 12-26 04:58
虽然您的解答十分精彩,但是不好意思,有比您更早时间的回答,另外,采用了我的提示.十分抱歉,我只能将分数送给第一楼的朋友,谢谢.

设
An = a1+a2+……an
Bn = b1+b2+……+bn
由于an>0
An单调上升,且
limAn = +∞；
lim(bn/an) = lim((Bn - Bn-1)/(An - An-1) = L

由Stolz定理：limAn/Bn = L
即所要求的结果

令bn/an-L=cn，则只要证lim [(c1a1+c2a2+....cnan)/(a1+a2+...an)]=0
考虑用定义来证。任取e>0,则只要证明存在N，使得只要n>N,就有
|(c1a1+c2a2+....cnan)/(a1+a2+...an)|<e就行了。
也就只要证明(e-|c1|)a1+(e-|c2|)a2+...+(e-|cn|)an>0就行了。

首先由于lim|cn|=0，所以存在N1,使得只要n>N1，就有|cn|<e/2
现在把(e-|c1|)a1+(e-|c2|)a2+...+(e-|cN1|)aN1记作C，
因为lim(a(N1+1)+a(N1+2)+...an)=正无穷,所以存在N，使得只要n>N就有
a(N1+1)+a(N1+2)+...an>-2C/e
于是对于这些n，就有
(e-|c1|)a1+(e-|c2|)a2+...+(e-|cn|)an>C+[a(N1+1)+a(N1+2)+...an]*e/2>0